分数裂项求和是一种特殊的数列求和技巧，它通常用于处理形如

\\frac{1}{n(n+1)}

n(n+1)

1

、

\\frac{1}{n(n+k)}

n(n+k)

1

等分数序列的求和。

对于形如

\\frac{1}{n(n+1)}

n(n+1)

1

的序列，裂项求和的基本公式是：

\\frac{1}{n(n+1)} = \\frac{1}{n} - \\frac{1}{n+1}

n(n+1)

1

=

n

1

−

n+1

1

这个公式是通过找两个分数的公共分母，然后进行通分，最后化简得到的。

对于更一般的形式

\\frac{1}{n(n+k)}

n(n+k)

1

，裂项求和的公式会有所不同，但基本思路是类似的。

当需要求三项的和时，可以分别应用裂项公式，然后求和。例如，考虑序列的前三项：

\\frac{1}{1 \\times 2} + \\frac{1}{2 \\times 3} + \\frac{1}{3 \\times 4}

1×2

1

+

2×3

1

+

3×4

1

应用裂项公式，得到：

= (1 - \\frac{1}{2}) + (\\frac{1}{2} - \\frac{1}{3}) + (\\frac{1}{3} - \\frac{1}{4})

=(1−

2

1

)+(

2

1

−

3

1

)+(

3

1

−

4

1

)

观察上式，可以发现从第二项开始，每一项的前半部分都会与前一项的后半部分相消，只留下首项的1和末项的

-\\frac{1}{4}

−

4

1

。

因此，求和结果为：

= 1 - \\frac{1}{4} = \\frac{3}{4}

=1−

4

1

=

4

3

这就是分数裂项三项求和的基本方法。对于更长的序列，可以依此类推，通过裂项和相消来简化求和过程。